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前言


通过系列文章《Polar Code(1~7)》大致梳理了Polar Code从编码到译码的基本原理和算法步骤。本文回过头再来谈一谈高斯近似。高斯近似已在前文《Polar Code(4)编码之极化信道可靠性估计》中有所介绍。对于Polar码的研究从BEC到一般类型的B-DMC,再到BAWGNC,越来越从理想走向实际。密度进化法把BEC扩展到了所有类型的B-DMC,高斯近似法则把B-DMC再次扩展到了BAWGNC。本文将梳理高斯近似在Polar Code编码和译码中的具体应用。

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前言


Polar Code在码长趋于无穷时,信道极化才越完全。但在有限码长下,由于信道极化并不完全,依然会存在一些信息比特无法被正确译码。当前面\(i-1\)个信息比特的译码中发生错误之后,由于SC译码器在对后面的信息比特译码时需要用到之前的信息比特的估计值,这就会导致较为严重的错误传递。SC译码算法是一种贪婪算法,对码树的每一层仅仅搜索到最优路径就进行下一层,所以无法对错误进行修改。SCL译码算法就是对SC算法的改进。但在SCL之前,先来看看SC译码算法的码树表示。

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前言


Arikan在文献[1]中给出了Polar Code译码算法,即串行抵消(Successive Cancellation,SL)译码算法。由Polar Code编码原理可知,极化码的构造就是一个极化信道的选择问题,而极化信道的选择实际上是按照最优化SC译码性能为标准的。根据极化信道转移概率函数式,各个极化信道并不是相互独立的,而是具有确定的依赖关系的:信道序号大的极化信道依赖于所有比其序号小的极化信道。基于极化信道之间的这一依赖关系,SC译码算法对各个比特进行译码判决时,需要假设之前步骤的译码得到的结果都是正确的。并且正是在这种译码算法下,极化码被证明了是信道容量可达的。因此对极化码而言,最合适的译码算法应当是基于SC译码的,只有这类译码算法才能充分利用极化码的结构,并且同时保证在码长足够长时容量可达。

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前言


极化信道的可靠性估计是Polar Code编码的第一步,对于BEC信道,若计算巴氏参数,转移概率是绕不开的一步。此外对于译码判决来说,计算转移概率也是必须的。本文就尝试梳理一下极化信道的转移概率\(W_{N}^{\left( i \right)}\left( y_{1}^{N},u_{1}^{i-1}|{ {u}_{i}} \right)\)

离散信道的数学模型


信道是信号传输的媒介,是传送信息的通道。在信息论研究中不考虑信道的物理特性,而只是考虑它的概率特性。研究信道的目的主要是为了解决信息如何通过信道实现有效和可靠传输的问题。香农第二定理指出,信息传输速率小于信道容量是实现可靠传输的充分与必要的条件。信道容量是信息能够可靠传输的最大信息传输速率,是信道研究中的一个重要内容。信道容量定义为信道输入与输出平均互信息的最大值,它是信道本身固有特性的反映,仅与信道的转移概率有关,与信道的输入概率无关,但是信道输人概率必须与信道匹配才能达到容量。

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《Polar Code(4)编码之极化信道可靠性估计》提到,事件\({ {A}_{i}}\)表示序号为\(i\)的极化信道\(W_{N}^{\left( i \right)}\)所承载的比特经过传输后接收发生错误,即

\[ { {A}_{i}}=\left\{ u_{1}^{N},y_{1}^{N}:W_{N}^{\left( i \right)}\left( y_{1}^{N},u_{1}^{i-1}|{ {u}_{i}} \right)<W_{N}^{\left( i \right)}\left( y_{1}^{N},u_{1}^{i-1}|{ {u}_{i}}\oplus 1 \right) \right\} \]

则极化信道\(W_{N}^{\left( i \right)}\)的错误概率为\(P\left( { {A}_{i}} \right)\)

那么事件\({ {A}_{i}}\)怎么理解?

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举个例子,假设N=2。编码器输入是\(\left( \begin{matrix} { {u}_{1}} \\ { {u}_{2}} \\ \end{matrix} \right)\),编码器输出是\(\left( \begin{matrix} { {x}_{1}}={ {u}_{1}}\oplus { {u}_{2}} \\ { {x}_{2}}={ {u}_{2}} \\ \end{matrix} \right)\)。经过无线信道,假设接收端接收到的信号为\(y_{1}^{2}\)

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前言


由Arikan发明的Polar Code经典编码算法已在《Polar Code(2)编码原理》中阐明,《Polar Code(3)编码实例》则是对前文的举例。在编码实例中,有两个前提假设:

  1. 假设一个二进制删除信道(BEC);
  2. 假设采用计算巴氏参数来评估各分裂子信道的可靠性。

Arikan在讨论信道极化时,针对的是二进制离散无记忆信道(B-DMC),然而在构造极化码时需要计算的巴氏参数\(Z\left( W \right)\)的适用范围是二进制删除信道。BEC是B-DMC的子集。因此在Polar Code编码时只能回落的BEC来进行构造。

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前言


《Polar Code(1)概述》中建立了Polar Code初步印象,本文将详细阐述Polar Code编码原理。Polar Code是通过引入信道极化概念而构建的。信道极化分为两个阶段,分别是信道联合和信道分裂。通过信道的联合与分裂,各个子信道的对称容量将呈现两级分化的趋势:随着码长(也就是联合信道数)\(N\)的增加,一部分子信道的容量趋于1,而其余子信道的容量趋于0。Polar Code正是利用这一信道极化的现象,在容量趋于1的\(K\)个子信道上传输消息比特,在其余子信道上传输冻结比特(即收发双方已知的固定比特,通常设置为全零)。由此构成的编码即为Polar Code,码率为\({K}/{N}\;\)

预备知识


一个二进制输入离散无记忆信道(B-DMC)可表示为\(W:X\to Y\)\(X\)是输入符号集合,\(Y\)是输出符号集合,转移概率为\(W\left( y|x \right),x\in X,y\in Y\)。由于信道是二进制输入,集合\(X=\left\{ 0,1 \right\}\)\(Y\)\(W\left( y|x \right)\)是任意值。对信道\(W\)\(N\)次使用后的信道可表示为\({W^{N}}\),则信道\({W^{N}}:{X^{N}}\to {Y^{N}}\)的转移概率为\({W^{N}}\left( y_1^{N}|x_{1}^{N} \right)=\prod\nolimits_{i=1}^{N}{W\left( y|x \right)}\)

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2016年11月18日,在美国内华达州里诺召开的3GPP RAN1 #87次会议,确定Polar Code作为5G eMBB(增强移动宽带)场景下控制信道编码方案。

2008年,Erdal Arikan在国际信息论ISIT会议上首次提出了信道极化(Channel Polarization)的概念;2009年在“IEEE Transaction on Information Theory”期刊上发表了一篇长达23页的论文更加详细地阐述了信道极化,并基于信道极化给出了一种新的编码方式,名称为极化码(Polar Code)。极化码具有确定性的构造方法,并且是已知的唯一一种能够被严格证明“达到”信道容量的信道编码方法。

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首篇博文,开宗明义

这是有关无线通信技术的个人博客,用于梳理无线通信知识,记录研究笔记或进行阶段性总结。博客内容涉及但不限于5G技术预研、LTE物理层算法。

工作中每个阶段都有各自的研究任务,随着研究广度与深度的增加,知识碎片也在不断增加。若不及时整理,长此以往难免混乱,更不利于日后的工作,故开博以记之。

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