Polar Code(17)高斯近似(2)

Marshall:需要向读者致歉。本博力求严谨,却也有时犯错,若使读者受到误导,实在惭愧。本博接受有据质疑和有理批评。感谢指出我错误的朋友。(2017年11月25日凌晨更新)

“假设全零发送”,这个看似简单以至于在许多论文里都一笔带过的假设,却引发了最近的一段思考。

从基本的高斯信道说起,对于一个BAWGN信道,其接收符号$y$表示为:

其中$z$为服从$N\left( 0,{ {\sigma }^{2}} \right)$的高斯白噪声,$s$为调制符号,调制方式采用BPSK。$s=1-2x$或者$s=2x-1$取决于怎样定义BPSK映射。若定义BPSK映射规则为:

\begin{align}
s=\left\{ \begin{matrix}
+1, x=0 \\
-1, x=1 \\
\end{matrix} \right.
\end{align}

其中$x\in \left\{ 0,1 \right\}$为编码比特,则接收符号$y$重写为:

下面考察接收符号$y$的对数似然比LLR:

接收符号$y$是服从$N\left( a,{ {\sigma }^{2}} \right)$的高斯随机变量,$a=E\left( y \right)$为$y$的均值,而$LLR\left( y \right)$也是一个高斯随机变量,其均值和方差取决于接收符号$y$的均值和方差。

$y$因$z$是随机变量而成为随机变量,$LLR\left( y \right)$又因$y$是随机变量而成为随机变量。已知$z\sim N\left( 0,{ {\sigma }^{2}} \right)$。

文献[1]指出信道输出的均值与调制方式有关,在BPSK下,$y$的均值$a=\pm 1$。但文献[2]指出$y\sim N\left( 0,{ {\sigma }^{2}} \right)$,可见$y$的均值为0。那么$y$的均值到底是多少?

我在8月份思考这个问题的时候也正是卡在这里。虽然我给出了自己的解释,现在看来,过去的解释有些荒诞。现在重新回到原点,博文暂时加上存疑的标签。

参考文献


[1] 吴道龙. 极化码构造与译码算法研究[D]. 西安电子科技大学, 2016.
[2] 陈凯. 极化编码理论与实用方案研究[D]. 北京邮电大学, 2014.

相关链接:


《Polar Code(4)编码之极化信道可靠性估计》
《Polar Code(8)高斯近似》