Polar Code(17)高斯近似(2)

Marshall:需要向读者致歉。本博力求严谨,却也有时犯错,若使读者受到误导,实在惭愧。本博接受有据质疑和有理批评。感谢指出我错误的朋友。(2017年11月25日凌晨更新)

“假设全零发送”,这个看似简单以至于在许多论文里都一笔带过的假设,却引发了最近的一段思考。

从基本的高斯信道说起,对于一个BAWGN信道,其接收符号\(y\)表示为:

\[\begin{align} y=s+z \end{align}\]

其中\(z\)为服从\(N\left( 0,{ {\sigma }^{2}} \right)\)的高斯白噪声,\(s\)为调制符号,调制方式采用BPSK。\(s=1-2x\)或者\(s=2x-1\)取决于怎样定义BPSK映射。若定义BPSK映射规则为:

\[\begin{align} s=\left\{ \begin{matrix} +1,\ \ x=0 \\ -1,\ \ x=1 \\ \end{matrix} \right. \end{align}\]

其中\(x\in \left\{ 0,1 \right\}\)为编码比特,则接收符号\(y\)重写为:

\[\begin{align} y=\left( 1-2x \right)+z \end{align}\]

下面考察接收符号\(y\)的对数似然比LLR:

\[\begin{align} LLR\left( y \right)=\ln \frac{p\left( y|x=0 \right)}{p\left( y|x=1 \right)}=\ln \frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi { {\sigma }^{2}}}}{ {e}^{-\frac{ { {\left[ y-\left( 1-2x \right) \right]}^{\ 2}}}{2{ {\sigma }^{2}}}|x=0}}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi { {\sigma }^{2}}}}{ {e}^{-\frac{\left[ y-\left( 1-2x \right) \right]{ {\ }^{2}}}{2{ {\sigma }^{2}}}|x=1}}}=\frac{2}{ { {\sigma }^{2}}}y \end{align}\]

接收符号\(y\)是服从\(N\left( a,{ {\sigma }^{2}} \right)\)的高斯随机变量,\(a=E\left( y \right)\)\(y\)的均值,而\(LLR\left( y \right)\)也是一个高斯随机变量,其均值和方差取决于接收符号\(y\)的均值和方差。

\(y\)\(z\)是随机变量而成为随机变量,\(LLR\left( y \right)\)又因\(y\)是随机变量而成为随机变量。已知\(z\sim N\left( 0,{ {\sigma }^{2}} \right)\)

文献[1]指出信道输出的均值与调制方式有关,在BPSK下,\(y\)的均值\(a=\pm 1\)。但文献[2]指出\(y\sim N\left( 0,{ {\sigma }^{2}} \right)\),可见\(y\)的均值为0。那么\(y\)的均值到底是多少?

我在8月份思考这个问题的时候也正是卡在这里。虽然我给出了自己的解释,现在看来,过去的解释有些荒诞。现在重新回到原点,博文暂时加上存疑的标签。

#参考文献
[1] 吴道龙. 极化码构造与译码算法研究[D]. 西安电子科技大学, 2016. [2] 陈凯. 极化编码理论与实用方案研究[D]. 北京邮电大学, 2014.

相关链接:


《Polar Code(4)编码之极化信道可靠性估计》 《Polar Code(8)高斯近似》