Polar Code（17）高斯近似（2）

发表于 2017-08-04 更新于 2022-08-14 分类于 Polar Code 阅读次数： 3489

“假设全零发送”，这个看似简单以至于在许多论文里都一笔带过的假设，却引发了最近的一段思考。

从基本的高斯信道说起，对于一个BAWGN信道，其接收符号 $y$ 表示为：

$\begin{array}{r} y = s + z \end{array}$

其中 $z$ 为服从 $N (0, σ^{2})$ 的高斯白噪声， $s$ 为调制符号，调制方式采用BPSK。 $s = 1 - 2 x$ 或者 $s = 2 x - 1$ 取决于怎样定义BPSK映射。若定义BPSK映射规则为：

$\begin{array}{r} s = {\begin{array}{c} + 1, x = 0 \\ - 1, x = 1 \end{array} \end{array}$

其中 $x \in {0, 1}$ 为编码比特，则接收符号 $y$ 重写为：

$\begin{array}{r} y = (1 - 2 x) + z \end{array}$

下面考察接收符号 $y$ 的对数似然比LLR：

$\begin{array}{r} L L R (y) = \ln \frac{p (y | x = 0)}{p (y | x = 1)} = \ln \frac{\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} e^{- \frac{{[y - (1 - 2 x)]}^{2}}{2 σ^{2}} | x = 0}}{\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} e^{- \frac{[y - (1 - 2 x)]^{2}}{2 σ^{2}} | x = 1}} = \frac{2}{σ^{2}} y \end{array}$

接收符号 $y$ 是服从 $N (a, σ^{2})$ 的高斯随机变量， $a = E (y)$ 为 $y$ 的均值，而 $L L R (y)$ 也是一个高斯随机变量，其均值和方差取决于接收符号 $y$ 的均值和方差。

$y$ 因 $z$ 是随机变量而成为随机变量， $L L R (y)$ 又因 $y$ 是随机变量而成为随机变量。已知 $z \sim N (0, σ^{2})$ 。

文献[1]指出信道输出的均值与调制方式有关，在BPSK下， $y$ 的均值 $a = \pm 1$ 。但文献[2]指出 $y \sim N (0, σ^{2})$ ，可见 $y$ 的均值为0。那么 $y$ 的均值到底是多少？

我在8月份思考这个问题的时候也正是卡在这里。虽然我给出了自己的解释，现在看来，过去的解释有些荒诞。现在重新回到原点，博文暂时加上存疑的标签。

#参考文献
[1] 吴道龙. 极化码构造与译码算法研究[D]. 西安电子科技大学, 2016. [2] 陈凯. 极化编码理论与实用方案研究[D]. 北京邮电大学, 2014.

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