MMSE 检测算法推导
考虑发送端具有 \(N_t\) 根发送天线，接收端具有 \(N_r\) 根接收天线，在一个时隙内信道为准静态平坦衰落情况下，接收信号可表示为
\[ \mathbf{y=Hx+n} \tag{1} \]
其中 \(\mathbf{H} \in \mathbb{C}^{N_r \times N_t}\) 是 MIMO 信道矩阵，\(\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{N_t \times 1}\) 是发送信号向量，\(\mathbf{n} \in \mathbb{C}^{N_r \times 1}\) 是与发送信号向量不相关的加性噪声向量，假设噪声向量均值为零。
预备知识
向量 \(\mathbf{x}\)，\(\mathbf{n}\) 有如下自相关矩阵
\[ \mathbf{R}_x = E[\mathbf{x} \mathbf{x}^H] \tag{2} \]
\[ \mathbf{R}_n = E[\mathbf{n} \mathbf{n}^H] \tag{3} \]
已假设向量 \(\mathbf{x}\)，\(\mathbf{n}\) 不相关，则 \(\mathbf{x}\)，\(\mathbf{n}\) 互相关矩阵为 \(\mathbf{0}\) 矩阵
\[ \mathbf{R}_{xn} = E[\mathbf{x} \mathbf{n}^H] = \mathbf{0}_{N_t \times N_r} \tag{4} \]
\[ \mathbf{R}_{nx} = E[\mathbf{n} \mathbf{x}^H] = \mathbf{0}_{N_r \times N_t} \tag{5} \]
接收信号向量 \(\mathbf{y}\) 的自相关矩阵
\[\begin{equation} \tag{6} \begin{aligned} \mathbf{R}_y &= E\left[\mathbf{y} \mathbf{y}^H \right] \\ &= E \left[ \left(\mathbf{Hx + n} \right) \left(\mathbf{Hx + n} \right)^H \right] \\ &= E \left[\mathbf{H} \mathbf{x} \mathbf{x}^H \mathbf{H}^H + \mathbf{H} \mathbf{x} \mathbf{n}^H + \mathbf{n} \mathbf{x}^H \mathbf{H}^H + \mathbf{n} \mathbf{n}^H \right] \\ &= \mathbf{H} E\left[\mathbf{x} \mathbf{x}^H \right] + \mathbf{H} E\left[\mathbf{x} \mathbf{n}^H \right] + E\left[\mathbf{n} \mathbf{x}^H \right] \mathbf{H}^H + E\left[\mathbf{n} \mathbf{n}^H \right] \\ &= \mathbf{H} \mathbf{R}_x \mathbf{H}^H + \mathbf{R}_n \end{aligned} \end{equation}\]
这些相关矩阵将在下面的推导中使用。
MMSE检测算法
接收端估计的信号为
\[ \mathbf{\hat{x}} = \mathbf{W} \mathbf{y} \tag{7} \]
则估计信号的误差为
\[ \mathbf{e} = \mathbf{\hat{x}} - \mathbf{x} = \mathbf{W} \mathbf{y} - \mathbf{x} \tag{8} \]
估计信号的均方误差为
\[ \mathbf{e}_{MSE} = E \left\| \mathbf{Wy - x} \right\|^2 \tag{9} \]
MMSE 检测算法以最小均方误差为准则，最小化实际发送的符号和检测器输出估计值之间的均方误差。当 \(\mathbf{e}_{MSE}\) 达到最小时，接收信号 \(\mathbf{y}\) 的加权矩阵 \(\mathbf{W}\) 为 \(\mathbf{W}_{MMSE}\)：
\[ \mathbf{W}_{MMSE} = \mathop{\arg\min}_{\mathbf{w}} \ E\left\| \mathbf{Wy - x} \right\|^2 \tag{10} \]
推导 \(\mathbf{W}_{MMSE}\) 有两种方法，一是利用正交性原理，能够很方便地推出结果；二是从式（9）出发，对 \(\mathbf{W}_{MMSE}\) 求导，并令导函数为 0，转化为求极值问题。
推导方法一：正交性原理
正交性原理：估计误差 \(\mathbf{e}\) 是一个随机变量，定义代价函数为均方误差 \(\mathbf{e}_{MSE} = E\left\| \mathbf{Wy - x} \right\|\)，则使均方误差 \(\mathbf{e}_{MSE}\) 获得最小值的条件是：
\[ E\left[ \mathbf{e}_0 \mathbf{y}^H \right] = \mathbf{0} \tag{11} \]
此时的 \(\mathbf{e}_0\) 是在均方误差意义上的最小值。这就是正交性原理。
将式（8）带入式（11）得
\[ E\left[ \left( \mathbf{W}_{MMSE} \mathbf{y} - \mathbf{x} \right) \mathbf{y}^H \right] = \mathbf{0} \tag{12} \]
下面对式（12）化简：
\[ E\left[ \mathbf{W}_{MMSE} \mathbf{y} \mathbf{y}^H - \mathbf{x} \mathbf{y}^H \right] = \mathbf{0} \tag{13} \]
\[ E\left[\mathbf{W}_{MMSE} \left( \mathbf{Hx + n} \right) \left(\mathbf{Hx + n}\right)^H - \mathbf{x} \left( \mathbf{Hx + n} \right)^H \right] = \mathbf{0} \tag{14} \]
\[ E\left[\mathbf{W}_{MMSE} \left( \mathbf{Hx + n} \right) \left( \mathbf{x}^H \mathbf{H}^H + \mathbf{n}^H \right) - \mathbf{x} \left( \mathbf{x}^H \mathbf{H}^H + \mathbf{n}^H \right) \right] = \mathbf{0} \tag{15} \]
\[ E\left[ \mathbf{W}_{MMSE} \left( \mathbf{H} \mathbf{x} \mathbf{x}^H \mathbf{H}^H + \mathbf{H} \mathbf{x} \mathbf{n}^H + \mathbf{n} \mathbf{x}^H \mathbf{H}^H + \mathbf{n} \mathbf{n}^H \right) - \left(\mathbf{x} \mathbf{x}^H \mathbf{H}^H + \mathbf{x} \mathbf{n}^H \right) \right] = \mathbf{0} \tag{16} \]
\[ \mathbf{W}_{MMSE} \left( \mathbf{H} E\left[ \mathbf{x} \mathbf{x}^H \right] \mathbf{H}^H + \mathbf{H} E\left[ \mathbf{x} \mathbf{n}^H \right] + \left[ \mathbf{n} \mathbf{x}^H \right] \mathbf{H}^H + E\left[ \mathbf{n} \mathbf{n}^H \right] \right) - \left( \left[ \mathbf{x} \mathbf{x}^H \right] \mathbf{H}^H + E\left[ \mathbf{x} \mathbf{n}^H \right] \right)= \mathbf{0} \tag{17} \]
\[ \mathbf{W}_{MMSE} \left( \mathbf{H} E\left[ \mathbf{x} \mathbf{x}^H \right] \mathbf{H}^H + E\left[ \mathbf{x} \mathbf{x}^H \right] \mathbf{H}^H \right) = \mathbf{0} \tag{18} \]
最后导出 \(\mathbf{W}_{MMSE}\) 为
\[ \mathbf{W}_{MMSE} = \mathbf{R}_x \mathbf{H}^H \left( \mathbf{H} \mathbf{R}_x \mathbf{H}^H + \mathbf{R}_n \right)^{-1} \tag{19} \]
推导方法二：矩阵求导
如果不使用正交性原理，要想找到使 \(\mathbf{e}_{MSE}\) 最小的 \(\mathbf{W}_{MMSE}\)，步骤是 step 1）对 \(\mathbf{e}_{MSE}\) 求导，step 2）令 \(\mathbf{e}_{MSE}\) 的导函数等于 0，并求得极值点。
式（9）可重写为
\[ \begin{equation} \tag{20} \begin{aligned} \mathbf{e}_{MMSE} &= E\left\| \mathbf{Wy -x} \right\|^2 \\ &= E\left\{ tr \left[ \left( \mathbf{Wy - x} \right) \left( \mathbf{Wy - x} \right)^H \right] \right\} \\ &= E\left\{ tr \left[ \mathbf{W} \mathbf{y} \mathbf{y}^H \mathbf{W}^H - \mathbf{W} \mathbf{y} \mathbf{x}^H - \mathbf{x} \mathbf{y}^H \mathbf{W}^H + \mathbf{x} \mathbf{x}^H \right] \right\} \\ &= tr\left\{ \mathbf{W} E\left[ \mathbf{y} \mathbf{y}^H \right] \mathbf{W}^H - \mathbf{W} E\left[ \mathbf{y} \mathbf{x}^H \right] - E\left[ \mathbf{x} \mathbf{y}^H \right] \mathbf{W}^H + E\left[ \mathbf{x} \mathbf{x}^H \right]\right\} \end{aligned} \end{equation} \]
式（20）第一项：
\[ \mathbf{W} E\left[ \mathbf{y} \mathbf{y}^H \right] \mathbf{W}^H = \mathbf{W} \mathbf{R}_y \mathbf{W}^H \tag{21} \]
式（20）第二项：
\[ \begin{equation} \tag{22} \begin{aligned} \mathbf{W} E\left[ \mathbf{y} \mathbf{x}^H \right] &= \mathbf{W} E\left[ \left( \mathbf{Hx + n} \right) \mathbf{x}^H \right] \\ &= \mathbf{W} E\left[ \mathbf{H} \mathbf{x} \mathbf{x}^H + \mathbf{n} \mathbf{x}^H\right] \\ &= \mathbf{W} \mathbf{H} \mathbf{R}_x \end{aligned} \end{equation} \]
式（20）第三项：
\[ \begin{equation} \tag{23} \begin{aligned} E\left[ \mathbf{x} \mathbf{y}^H \right] \mathbf{W}^H &= E\left[ \mathbf{x} \left( \mathbf{Hx + n} \right)^H \right] \mathbf{W}^H \\ &= E\left[ \mathbf{x} \mathbf{x}^H \mathbf{H}^H + \mathbf{x} \mathbf{n}^H \right] \mathbf{W}^H \\ &= \mathbf{R}_x \mathbf{H}^H \mathbf{W}^H \end{aligned} \end{equation} \]
将式（2），式（21~23）带入式（20）可得
\[ \mathbf{e}_{MSE} = tr\left\{ \mathbf{W} \mathbf{R}_y \mathbf{W}^H - \mathbf{W} \mathbf{H} \mathbf{R}_x - \mathbf{R}_x \mathbf{H}^H \mathbf{W}^H + \mathbf{R}_x \right\} \tag{24} \]
对 \(\mathbf{e}_{MSE}\) 求 \(\mathbf{W}\) 的偏导：
\[ \frac{\partial \mathbf{e}_{MSE} }{ \partial \mathbf{W} } = \frac{ \partial tr \left\{\mathbf{W} \mathbf{R}_y \mathbf{W}^H - \mathbf{W} \mathbf{H} \mathbf{R}_x - \mathbf{R}_x \mathbf{H}^H \mathbf{W}^H + \mathbf{R}_x \right\} }{ \partial \mathbf{W}} \tag{25} \]
式（25）分子第一项的偏导为：
\[ \frac{\partial tr \left\{ \mathbf{W} \mathbf{R}_y \mathbf{W}^H \right\}}{ \partial \mathbf{W}} = \left( \mathbf{R}_y \mathbf{W}^H \right)^T = \mathbf{W}^* \mathbf{R}_y^T \tag{26} \]
式（25）分子第二项的偏导为：
\[ \frac{\partial tr \left\{ \mathbf{W} \mathbf{H} \mathbf{R}_x \right\}}{\partial \mathbf{W}} = \left( \mathbf{H} \mathbf{R}_x \right)^T \tag{27} \]
式（25）分子第三项的偏导为：
\[ \frac{\partial tr \left\{ \mathbf{R}_x \mathbf{H}^H \mathbf{W}^H \right\}}{\partial \mathbf{W}} = \mathbf{0} \tag{28} \]
式（25）分子第四项的偏导为：
\[ \frac{\partial tr\left\{ \mathbf{R}_x \right\}}{\partial \mathbf{W}} = \mathbf{0} \tag{29} \]
将式（26~29）带入式（25）得
\[ \frac{\partial \mathbf{e}_{MSE}}{\partial \mathbf{W}} = \mathbf{W}^* \mathbf{R}_y^T - \left( \mathbf{H} \mathbf{R}_x \right)^T \tag{30} \]
令 \(\mathbf{e}_{MSE}\) 导函数等于 \(\mathbf{0}\)
\[ \mathbf{W}^* \mathbf{R}_y^T - \left( \mathbf{H} \mathbf{R}_x \right)^T = \mathbf{0} \tag{31} \]
对上式等号两边同时取复共轭：
\[ \mathbf{W} \mathbf{R}_y^H = \left( \mathbf{H} \mathbf{R}_x \right)^H \tag{32} \]
由于自相关矩阵是 Hermitian 矩阵，即 \(\mathbf{R}_y^H = \mathbf{R}_y\)，\(\mathbf{R}_x^H = \mathbf{R}_x\)，则上式改写为
\[ \mathbf{W} \mathbf{R}_y = \mathbf{R}_x \mathbf{H}^H \tag{33} \]
则有
\[ \mathbf{W} = \mathbf{R}_x \mathbf{H}^H \mathbf{R}_y^{-1} \tag{34} \]
将式（6）带入上式得
\[ \mathbf{W}_{MMSE} = \mathbf{R}_x \mathbf{H}^H \left( \mathbf{H} \mathbf{R}_x \mathbf{H}^H + \mathbf{R}_n \right)^{-1} \]
由此看见，用矩阵求导的方法得到的式（35）和用正交性原理得到的式（19）相同。
若令
\[ \mathbf{R}_x = E\left[ \mathbf{x} \mathbf{x}^H \right] = \mathbf{I} \]
\[ \mathbf{R}_n = E\left[ \mathbf{n} \mathbf{n}^H \right] = \sigma^2 \mathbf{I} \]
带入式（35）得到
\[ \mathbf{W}_{MMSE} = \mathbf{H}^H \left( \mathbf{H} \mathbf{H}^H + \sigma^2 \mathbf{I} \right)^{-1} \tag{36} \]
完毕。