Polar Code（24）小结

本文可能是最后一篇Polar Code系列文章，用以结束2017年对极化码的研究。

极化码和无线信道的特征是相关联的，这是极化码有别于其他信道编码的一个特点。其他信道编码通常编码就是编码，信道就是信道，两者是独立的。然而决定极化码子信道可靠性的因素有两个，一是它自身的结构（“蝶形图”结构），二是无线信道特征（表征参数可以是SNR或转移概率）。

第一个概念是“信道极化”，如果比特信道采用这种“蝶形图”方法构造，那么导致的结果就是一些子信道的容量趋于1，另一些子信道的容量趋于0。这种向两级分化的现象就是信道极化现象。

第二个概念是线性分组码，线性分组码可以通过生成矩阵相乘的方式得到编码，\(\mathbf{x}=\mathbf{uG}\)。

若将这两个概念融合在一起，利用了信息极化原理的线性分组码自然就成为“极化码”。如何利用？可视化的解释是“蝶形图”结构，数学化的解释是\(\mathbf{x}=\mathbf{uG}\)，\(\mathbf{G}={ {\mathbf{F}}^{\otimes n}}\)。两种解释完全等价，信道极化过程体现在生成矩阵\(\mathbf{G}\)里。

码长N一旦确定，那么“蝶形图”的结构就确定了，或者说，生成矩阵\(\mathbf{G}\)就唯一确定了。而生成矩阵一旦确定，剩下的事儿就是构造输入序列的顺序了。

一方面，极化码自身的结构（“蝶形图”结构）使得子信道呈现出向两级分化的特点。无论无线信道是何种类型，它都呈现出信道极化现象，这是极化码固有特点。例如，假设此时有比特信道1、3、5的容量趋于1，比特信道2、4、6的容量趋于0。按可靠性从高到低排序，则比特信道索引为1、3、5、2、4、6。

另一方面，无线信道本身的特征也影响着这些子信道的排序，不同原始信道转移概率（或SNR）也造成子信道可靠性顺序可能发生变化。例如，原始信道的转移概率是p1，子信道顺序为1、5、3、2、4、6；若原始信道转移概率是p2，则子信道顺序可能变为1、5、3、4、2、6。

因此在编码时不得不考虑无线信道的知识（SNR或转移概率），难道每次编码都要估计信道？这也太不经济了。从理论到应用，极化码编码和无线信道特征之间的关系有这样一个趋势：从紧密耦合逐渐到解耦（个人观点）。

高斯近似是个不错的方法，然而以今天的视角，似乎有点原始。design-snr的思路则向前迈进了一大步，一个最佳design-snr可适用于一定范围的snr，它让编码和无线信道联系得不是那么紧密了。3GPP则更加彻底，甩掉了snr的包袱，用极化权重来表征子信道可靠性，针对N=1024给出了一张比特权重表，直接拿来用。

当然，如果认为极化编码和无线信道就此彻底断绝联系也是不对的。回顾开篇处，“极化码和无线信道的特征是相关联的，这是极化码有别于其他信道编码的一个特点”。恐怕这一点是绕不过去的。3GPP给出了一张比特权重表，表面上看和无线信道没关系，可那张表怎么来的呢？表格的背后其实隐含着无线信道的影响。表格之所以是现在的型态，已经考虑了无线信道的影响，在N<=1024的范围内可直接使用。

3GPP 5G标准的第一个版本确定了，polar code在5G上的应用就是这个样子。然而在学术领域，polar code应不终结于3GPP，更先进的编译码算法还有待人们去挖掘。而所谓有始有终，我的极化码之旅暂时告一段落。