Answer-Polar Code-高斯近似之$\varphi \left( x \right)$反函数

前言


《Polar Code(8)高斯近似》中$\varphi \left( x \right)$的反函数,计算式(8)比较困难,而式(9)、式(10)比较容易。本文以式(9)为例详述$\varphi \left( x \right)$的反函数。

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$ { {y}_{1}}={ {e}^{0.0116{ {x}^{2}}-0.4212x}},x\in \left( 0,7.0633 \right] $的反函数


一元二次方程的根为

其中$a=0.0116,b=-0.4212,c=-\ln { {y}_{1}}$,而$\pm $的选取要做一番比较:

根据定义域$ x\in \left( 0,7.0633 \right] $,得到${ {y}_{1}}$的值域${ {y}_{1}}\in \left[ \text{0}\text{.0911},1 \right)$,则有

若取“+”号,则有

此时方程的根远远超出了$ x\in \left( 0,7.0633 \right] $的范围,所以“+”号不可取。

若取“-”号,则有

此时方程根恰好满足$ x\in \left( 0,7.0633 \right] $,所以应取“-”号。

综上所述,一元二次方程(3)的根为

即反函数为


$ { {y}_{2}}={ {e}^{-0.2944x-0.3169}},x\in \left( 7.0633,+\infty \right) $的反函数


根据$ x\in \left( 7.0633,+\infty \right) $,得到${ {y}_{2}}$的值域${ {y}_{2}}\in \left( \text{0,0}\text{.0911} \right)$。

即反函数

将两段反函数合并得到$\varphi \left( x \right)$的反函数

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验证$\varphi \left( x \right)$和${ {\varphi }^{-1}}\left( x \right)$是否关于y=x对称


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